多复变函数论笔记 - 1.1 复欧氏空间

符号简述

$ℝ$ 和 $ℂ$ 分别表示实数域和复数域， $ℤ$ 和 $ℕ$ 分别表示整数和非负整数， $ℕ^{+}$ 表示正整数。

定义

对 $𝑛 \in ℕ^{+}$ ，定义 $𝑛$ 个复平面的笛卡尔积为 $𝑛$ 维复数空间

ℂ^{𝑛} = {𝑧 : 𝑧 = (𝑧_{1}, 𝑧_{2}, \dots, 𝑧_{𝑛}), 𝑧_{𝑗} \in ℂ, 1 \leq 𝑗 \leq 𝑛},

其具有自然的 $𝑛$ 维复向量空间结构。 $ℂ^{𝑛}$ 上的标准 Hermite 内积为

⟨ 𝑎, 𝑏 ⟩ = \sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} 𝑎_{𝑗} 𝑏_{𝑗}, 𝑎, 𝑏 \in ℂ^{𝑛},

该内积产生的范数 $∥ 𝑎 ∥ = ⟨ 𝑎, 𝑎 ⟩$ 诱导出了 $ℂ^{𝑛}$ 中的欧氏距离

dist (𝑎, 𝑏) = ∥ 𝑎 - 𝑏 ∥, \forall 𝑎, 𝑏 \in ℂ^{𝑛} .

为与一维复空间的 $| 𝑧 | = 𝑧 𝑧$ 书写形式统一，对 $𝑧 \in ℂ^{𝑛}$ ，也记 $| 𝑧 | = ∥ 𝑧 ∥$ 。

与 R²ⁿ 的联系

定义以 $𝑎 \in ℂ^{𝑛}$ 为圆心， $𝑟 > 0$ 为半径的开球为

𝐵 (𝑎, 𝑟) = {𝑧 \in ℂ^{𝑛} : | 𝑧 - 𝑎 | < 𝑟} .

设 $𝑧 = (𝑧_{1}, 𝑧_{2}, \dots, 𝑧_{𝑛}) \in ℂ^{𝑛}$ ，记 $𝑧_{𝑗} = 𝑥_{𝑗} + 𝑖 𝑥_{𝑗 + 𝑛}, 𝑥_{𝑗}, 𝑥_{𝑗 + 𝑛} \in ℝ$ ，则映射

𝑓 : ℂ^{𝑛} \to ℝ^{2 𝑛}, 𝑓 (𝑧) = (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{2 𝑛})

是 $ℂ^{𝑛}$ 到 $ℝ^{2 𝑛}$ 的一个实线性同构，且对 $ℝ^{2 𝑛}$ 上的 L-2 范数有 ${| 𝑓 (𝑧) |}_{2} = | 𝑧 |$ ，所以 $𝑓 (𝐵 (𝑎, 𝑟))$ 为 $ℝ^{2 𝑛}$ 上以 $𝑓 (𝑎) \in ℝ^{𝑛}$ 为圆心， $𝑟 > 0$ 为半径的开球，即 $ℂ^{𝑛}$ 与 $ℝ^{2 𝑛}$ 拓扑同胚。

由此可将 $ℝ^{2 𝑛}$ 中的拓扑、分析的通常概念替换到 $ℂ^{𝑛}$ 中。

基础概念

开集：设 $𝐷 \subset ℂ^{𝑛}$ 为一点集，若 $\forall 𝑎 \in 𝐷$ ， $\exists 𝑟 > 0$ ，使得 $𝐵 (𝑎, 𝑟) \subset 𝐷$ ，则称 $𝐷$ 为开集。
连通集：设 $𝐷 \subset ℂ^{𝑛}$ 为一点集，若 $𝐷$ 不能表示为两个非空开集之并，则称 $𝐷$ 是连通的。
区域：连通的开集。
相对紧子集：设 $Ω \subset 𝐷$ 为一子集，若其闭包 $Ω \subset 𝐷$ ，则称 $Ω$ 为 $𝐷$ 的一个相对紧子集，记为 $Ω \subset \subset 𝐷$ 。
多圆柱：
定义以 $𝑎 = (𝑎_{1}, \dots, 𝑎_{𝑛}) \in ℂ^{𝑛}$ 为圆心， $𝑟 = (𝑟_{1}, \dots, 𝑟_{𝑛}) (𝑟_{𝑗} > 0, 1 \leq 𝑗 \leq 𝑛)$ 为（多）半径的开多圆柱为
$𝑃 (𝑎, 𝑟) = {𝑧 \in ℂ^{𝑛} : | 𝑧_{𝑗} - 𝑎_{𝑗} | < 𝑟_{𝑗}, 1 \leq 𝑗 \leq 𝑛},$
其为 $ℂ$ 中 $𝑛$ 个开圆盘的笛卡尔积。
多圆域：
更一般地，称 $𝑛$ 个复平面区域 $𝐷_{𝑗} \in ℂ (1 \leq 𝑗 \leq 𝑛)$ 的笛卡尔积 $𝐷 = 𝐷_{1} \times \dots \times 𝐷_{𝑛}$ 为一个多圆域。

点集 $𝐴 \subset ℂ^{𝑛}$ 的拓扑边界记为 $𝔟 𝐴$

绝对空间

称映射 $𝜏 : ℂ^{𝑛} \to ℝ_{+}^{𝑛}, 𝑓 (𝑎) = 𝑓 ((𝑎_{1}, \dots, 𝑑_{𝑛})) = (| 𝑎_{1} |, \dots, | 𝑎_{𝑛} |)$ 为绝对空间， $ℂ^{𝑛}$ 中点集在绝对空间下的像可更为方便地用几何表示。

例如，容易画出 $𝜏 (𝐵 (0, 𝑟))$ 和 $𝜏 (𝑃 (0, (𝑟_{1}, 𝑟_{2})))$ 在绝对空间的图形如下：

绝对空间下球 $B(0, r)$ 与多圆域 $P(0, (r_1, r_2))$ 的图形。

Hartogs 图形

当 $𝑛 > 2$ 时，为简化书写，通常记 $𝑧 = (𝑧^{'}, 𝑧_{𝑛})$ ，其中 $𝑧^{'} = (𝑧_{1}, \dots, 𝑧_{𝑛 - 1}) \in ℂ^{𝑛 - 1}$ 。

设 $𝑟 = (𝑟_{1}, \dots, 𝑟_{𝑛})$ 满足 $0 < 𝑟_{𝑗} < 1, 1 \leq 𝑗 \leq 𝑛$ ，定义区域

\begin{aligned} 𝐻 (𝑟) = & {𝑧 = (𝑧^{'}, 𝑧_{𝑛}) \in ℂ^{𝑛} : 𝑧^{'} \in 𝑃^{'} (0, 𝑟^{'}), | 𝑧_{𝑛} | < 1} \\ \cup {𝑧 = (𝑧^{'}, 𝑧_{𝑛}) \in ℂ^{𝑛} : 𝑧^{'} \in 𝑃^{'} (0, 𝑟^{'}), 𝑟_{𝑛} < | 𝑧_{𝑛} | < 1} \end{aligned}

则 $𝐻 (𝑟)$ 的图形可表示如下：

绝对空间中的 Hartogs 图形 τ(H(r))：阴影区域呈 L 形，横轴从 r′ 延伸到 1，纵轴从 rₙ 延伸到 1。

称 $(𝐻 (𝑟), 𝑃 (0, 1))$ 这样的一个「对」为一个（欧式）Hartogs 图形。

Reinhardt 域

注意对 $𝑟 = (𝑟_{1}, \dots, 𝑟_{𝑛}) \in ℝ_{+}^{𝑛}$ 而言，

𝜏^{(- 1) (𝑟)} = {(𝑟_{1} 𝑒^{𝑖 𝜃_{1}}, \dots, 𝑟_{𝑛} 𝑒^{𝑖 𝜃_{𝑛}}) : 0 \leq 𝜃_{𝑗} \leq 2 𝜋, 1 \leq 𝑗 \leq 𝑛}

是一个 $𝑛$ 维的实环面¹¹ $𝑛$ 个圆环的笛卡尔积。因此有如下定义：

设 $Ω \in ℂ^{𝑛}$ 为一点集，若 $\forall 𝑎 \in Ω$ ，环面

𝜏^{(- 1) (𝜏 (𝑎))} = {𝑧 \in ℂ^{𝑛} : 𝑧 = (𝑎_{1} 𝑒^{𝑖 𝜃_{1}}, \dots, 𝑎_{𝑛} 𝑒^{𝑖 𝜃_{𝑛}}), 0 \leq 𝜃_{𝑗} \leq 2 𝜋, 1 \leq 𝑗 \leq 𝑛}

也落在 $Ω$ 内，则称 $Ω$ 是圆形的。在 $ℂ^{𝑛}$ 中，只有圆形点集的绝对空间表示才是有意义的。

设 $Ω \in ℂ^{𝑛}$ 为以原点为中心的开圆形域，则称 $Ω$ 为 Reinhardt 域。若 $Ω$ 还满足 $\forall 𝑎 \in Ω$ ，均有 $𝑃 (0, 𝜏 (𝑎)) \subset Ω$ ，则称 $Ω$ 是完备的。 $𝐵 (0, 𝑟)$ 和 $𝑃 (0, 𝑟)$ 是完备的 Reinhardt 域，但是 $𝐻 (𝑟)$ 是不完备的 Reinhardt 域。

考虑全纯函数的洛朗级数展开时就会遇到 Reinhardt 域， $ℂ$ 中典型的完备Reinhardt 域是以原点为圆心的开圆盘，而典型的不完备 Reinhardt 域是以原点为圆心的圆环区域。