多复变函数论笔记 - 1.2 Cauchy-Riemann 方程组

多重指标记号

定义如下多重指标记号：

设 $𝛼 = (𝛼_{1}, \dots, 𝛼_{𝑛}) \in ℕ^{𝑛}$ ， $𝑥 = (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑛}) \in ℝ^{𝑛}$ ，记

| 𝛼 | = \sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} 𝛼_{𝑗}, 𝛼! = \prod_{𝑗 = 1}^{𝑛} 𝛼_{𝑗}!, 𝑥^{𝛼} = \prod_{𝑗 = 1}^{𝑛} 𝑥_{𝑗}^{𝛼_{𝑗}} .

记 $𝛼 \geq 0$ 为 $\forall 1 \leq 𝑗 \leq 𝑛$ ， $𝛼_{𝑗} \geq 0$ 。
记
$𝐷^{𝛼} ≔ \frac{𝜕^{| 𝛼 |}}{𝜕 𝑥_{1}^{𝛼_{1}} \dots 𝜕 𝑥_{𝑛}^{𝛼_{𝑛}}} .$

复值连续可微空间

对开集 $𝐷 \subset ℝ^{𝑛}$ 与 $𝑘 \in ℕ \cup {+ \infty}$ ， $𝐶^{𝑘} (𝐷)$ 表示在 $𝐷$ 内 $𝑘$ 次连续可微的的复值函数全体，并记 $𝐶 (𝐷) = 𝐶^{0} (𝐷)$ 。

设 $𝑓 \in 𝐶^{𝑘} (𝐷)$ ， $𝑘 < + \infty$ ，定义 $𝑓$ 在 $𝐷$ 上的 $𝐶^{𝑘}$ 范数为

{‖ 𝑓 ‖}_{𝑘, 𝐷} = \sum_{𝛼 \in ℕ^{𝑛}, | 𝛼 | \leq 𝑘} sup_{𝑥 \in 𝐷} | 𝐷^{𝛼} 𝑓 (𝑥) | .

记 $∥ 𝑓 \underset{𝐷}{∥} ≔ ∥ 𝑓 \underset{0, 𝐷}{∥}$ ， $∥ 𝑓 \underset{𝑘}{∥} ≔ ∥ 𝑓 \underset{𝑘, 𝐷}{∥}$ ，空间

𝐵^{𝑘} (𝐷) = {𝑓 \in 𝐶^{𝑘} (𝐷) : ∥ 𝑓 \underset{𝑘}{∥} < \infty}

关于 $𝐶^{𝑘}$ 范数 $∥ \cdot \underset{𝑘}{∥}$ 是完备的，即 $𝐵^{𝑘} (𝐷)$ 为 Banach 空间。

类似地，空间

𝐶^{𝑘} (𝐷) = {𝑓 \in 𝐶^{𝑘} (𝐷) : 𝐷^{𝛼} 𝑓 可连续延拓到 𝐷, \forall 𝛼 \in ℕ^{𝑛}, | 𝛼 | \leq 𝑘}

关于范数 $∥ \cdot \underset{𝑘, 𝐷}{∥}$ 也为 Banach 空间。

偏微分算子

视 $ℂ^{𝑛} = ℝ^{2 𝑛}$ ，由 $𝑧_{𝑗} = 𝑥_{𝑗} + 𝑖 𝑥_{𝑗 + 𝑛}$ ，可引入偏微分算子

\frac{𝜕}{𝜕 𝑧_{𝑗}} = \frac{1}{2} (\frac{𝜕}{𝜕 𝑥_{𝑗}} - 𝑖 \frac{𝜕}{𝜕 𝑥_{𝑗 + 𝑛}}), \frac{𝜕}{𝜕 𝑧_{𝑗}} = \frac{1}{2} (\frac{𝜕}{𝜕 𝑥_{𝑗}} + 𝑖 \frac{𝜕}{𝜕 𝑥_{𝑗 + 𝑛}}) .

容易验证

\frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑧_{𝑗}} = \frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑧_{𝑗}}, \frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑧_{𝑗}} = \frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑧_{𝑗}} .

多重指标记号也可扩充到偏微分算子： $\forall 𝛼, 𝛽 \in ℕ^{𝑛}$ ，

𝐷^{𝛼 𝛽} ≔ \frac{𝜕^{| 𝛼 | + | 𝛽 |}}{𝜕 𝑧_{1}^{𝛼_{1}} \dots 𝜕 𝑧_{𝑛}^{𝛼_{𝑛}} 𝜕 𝑧_{1}^{𝛽_{1}} \dots 𝜕 𝑧_{𝑛}^{𝛽_{𝑛}}},

𝐷^{𝛼} ≔ \frac{𝜕^{| 𝛼 |}}{𝜕 𝑧_{1}^{𝛼_{1}} \dots 𝜕 𝑧_{𝑛}^{𝛼_{𝑛}}}, 𝐷^{𝛽} ≔ \frac{𝜕^{| 𝛽 |}}{𝜕 𝑧_{1}^{𝛽_{1}} \dots 𝜕 𝑧_{𝑛}^{𝛽_{𝑛}}} .

其具有性质： $\forall 𝛼, 𝛽 \in ℕ^{𝑛}$ ， $| 𝛼 | + | 𝛽 | \leq 𝑘$ ，有 $𝑓 \in 𝐶^{𝑘} (𝐷) \Leftrightarrow 𝐷^{𝛼 𝛽} \in 𝐶 (𝐷)$ 。

区域上的全纯函数

设 $𝐷 \subset ℂ^{𝑛}$ 为一区域， $𝑓 : 𝐷 \to ℂ$ 为一复值函数，若 $𝑓 \in 𝐶^{1} (𝐷)$ ，且 $𝑓$ 满足如下齐次 Cauchy-Riemann 方程组：

\frac{𝜕 𝑓}{𝜕 𝑧_{𝑗}} = 0, \forall 1 \leq 𝑗 \leq 𝑛, 𝑧 \in 𝐷,

则称 $𝑓$ 在 $𝐷$ 内全纯。

在单变量的情形下，若一个定义在区域 $𝐷 \subset ℂ$ 上的复值函数 $𝑓$ 在 $𝐷$ 上任一点的局部均可展开为幂级数，则称 $𝑓$ 在 $𝐷$ 上全纯。多变量情形下，也有类似的全纯函数幂级数定义：

设 $𝐷 \subset ℂ^{𝑛}$ 为一区域， $𝑓 : 𝐷 \to ℂ$ 为一复值函数。若对任一点 $𝑧^{(0)} \in 𝐷$ ，均存在 $𝑧^{(0)}$ 的一个开邻域 $𝑈 \subset 𝐷$ ，使得 $\forall 𝑧 \in 𝑈$ ，

𝑓 (𝑧) = \sum_{𝛼 \in ℕ^{𝑛}} {𝒶︀}_{𝛼} {(𝑧 - 𝑧^{(0)})}^{𝛼} ≔ \sum_{𝛼_{1}, \dots, 𝛼_{𝑛} = 0}^{+ \infty} {𝒶︀}_{𝛼_{1}, \dots, 𝛼_{𝑛}} \prod_{𝑗 = 1}^{𝑛} {(𝑧_{𝑗} - 𝑧_{𝑗}^{(0)})}^{𝛼_{𝑗}},

则称 $𝑓$ 在 $𝐷$ 内全纯。上述两个全纯函数定义是等价的。

Hartogs 定理

记 $𝒪︀ (𝐷)$ 为 $𝐷$ 上全体全纯函数的集合。若 $Ω$ 是 $𝐶^{𝑛}$ 中的任意子集（例如紧子集或更为一般的闭集），则 $𝒪︀ (Ω)$ 表示在包含 $Ω$ 的某个邻域上的全纯函数的集合。

约定 $𝑓 = 𝑔, \forall 𝑓, 𝑔 \in 𝒪︀ (Ω) \Leftrightarrow$ 存在 $Ω$ 的某一邻域 $𝐷$ ，使得 $𝑓 (𝑧) = 𝑔 (𝑧), \forall 𝑧 \in 𝐷$ 。

由全纯函数定义，立得：

定理:对任何子集 $Ω \subset ℂ^{𝑛}$ ， $𝒪︀ (Ω)$ 在逐点加法和数乘意义下封闭。任一关于 $𝑧_{1}, \dots, 𝑧_{𝑛}$ 的复系数多项式在 $ℂ^{𝑛}$ 上是全纯的，从而在 $𝒪︀ (Ω)$ 里。若 $𝑓, 𝑔 \in 𝒪︀ (Ω)$ ，且 $𝑔 (𝑧) \neq 0, \forall 𝑧 \in Ω$ ，则 $\frac{𝑓}{𝑔} \in 𝒪︀ (Ω)$ 。

任意满足齐次 Cauchy-Riemann 方程组的函数 $𝑓$ 也分别关于单复变量 $𝑧_{𝑗}$ 全纯。反过来，则有如下 Hartogs 定理：

定理 (F. Hartogs, 1906):设 $𝐷 \subset ℂ^{𝑛}$ 为一区域， $𝑓 : 𝐷 \to ℂ$ 。若 $𝑓$ 分别关于每一单复变量 $𝑧_{𝑗} (1 \leq 𝑗 \leq 𝑛)$ 全纯，则 $𝑓 \in 𝒪︀ (𝐷)$ 。

上述定理说明全纯函数定义中的 $𝑓 \in 𝐶^{1} (𝐷)$ 为多余条件。

Hartogs 定理在实变函数论中不成立：设 $𝑓 : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ ，

𝑓 (𝑥, 𝑦) = {\begin{cases} \frac{𝑥 𝑦}{𝑥^{4} + 𝑦^{4}} (𝑥, 𝑦) \neq (0, 0) \\ 0 (𝑥, 𝑦) = (0, 0) \end{cases}

显然 $𝑓$ 关于 $𝑥, 𝑦$ 均是实解析的，但其在 $(0, 0)$ 处无界。

Osgood 定理

引理 (Osgood):设 $𝐷 \subset ℂ$ 为一区域， $𝑓 : 𝐷 \to ℂ$ 。若 $𝑓 \in 𝐶 (𝐷)$ ，且 $𝑓$ 分别关于每一单复变量 $𝑧_{𝑗} (1 \leq 𝑗 \leq 𝑛)$ 全纯，则 $𝑓 \in 𝒪︀ (𝐷)$ 。

证明:任选一点 $𝑧^{(0)} \in 𝐷$ 以及 $𝑃 (𝑧^{(0)}, 𝑟) \subset \subset 𝐷$ ，由于 $𝑓$ 在 $𝑃 (𝑧^{(0)}, 𝑟)$ 的邻域内关于每一单复变量全纯，可以重复使用单复变量全纯函数的 Cauchy 积分公式，得

𝑓 (𝑧) = {(\frac{1}{2 𝜋 𝑖})}^{𝑛} \int_{| 𝜁_{1} - 𝑧_{1}^{(0)} | = 𝑟_{1}} \frac{𝑑 𝜁_{1}}{𝜁_{1} - 𝑧_{1}} \dots \int_{| 𝜁_{𝑛} - 𝑧_{𝑛}^{(0)} | = 𝑟_{𝑛}} \frac{𝑓 (𝜁) 𝑑 𝜁_{𝑛}}{𝜁_{𝑛} - 𝑧_{𝑛}}

对任意 $𝑧 \in 𝑃 (𝑧^{(0)}, 𝑟)$ 均成立。对任意固定点 $𝑧$ ，上式各积分的被积函数均在 $𝐷$ 的紧子集

{𝜁 = (𝜁_{1}, \dots, 𝜁_{𝑛}) \in ℂ^{𝑛} : | 𝜁_{1} - 𝑧_{1}^{(0)} | = 𝑟_{1}, \dots, | 𝜁_{𝑛} - 𝑧_{𝑛}^{(0)} | = 𝑟_{𝑛}}

上连续，于是上式的累次积分可替换为重积分

𝑓 (𝑧) = {(\frac{1}{2 𝜋 𝑖})}^{𝑛} \int \dots \int_{𝔟 𝑃 (𝑧^{(0)}, 𝑟)} \frac{𝑓 (𝜁) 𝑑 𝜁_{1} \dots 𝑑 𝜁_{𝑛}}{\prod_{𝑗 = 1}^{𝑛} (𝜁_{𝑗} - 𝑧_{𝑗})} .

注意到对固定的 $𝑧 \in 𝑃 (𝑧^{(0)}, 𝑟)$ ，级数

\prod_{𝑗 = 1}^{𝑛} {(𝜁_{𝑗} - 𝑧_{𝑗})}^{- 1} = \sum_{𝛼_{1}, \dots, 𝛼_{𝑛} = 0}^{+ \infty} \prod_{𝑗 = 1}^{𝑛} \frac{{(𝑧_{𝑗} - 𝑧_{𝑗}^{(0)})}^{𝛼_{𝑗}}}{{(𝜁_{𝑗} - 𝑧_{𝑗}^{(0)})}^{𝛼_{𝑗} + 1}}

对所有 $𝜁 \in 𝔟 𝑃 (𝑧^{(0)}, 𝑟)$ 绝对收敛、一致收敛。于是可将级数代入重积分中，并交换求和积分次序，得

𝑓 (𝑧) = \sum_{𝛼_{1}, \dots, 𝛼_{𝑛} = 0}^{+ \infty} {𝒶︀}_{𝛼_{1}, \dots, 𝛼_{𝑛}} \prod_{𝑗 = 1}^{𝑛} {(𝑧_{𝑗} - 𝑧_{𝑗}^{(0)})}^{𝛼_{𝑗}},

其中

{𝒶︀}_{𝛼_{1}, \dots, 𝛼_{𝑛}} ≔ {(\frac{1}{2 𝜋 𝑖})}^{𝑛} \int \dots \int_{𝔟 𝑃 (𝑧^{(0)}, 𝑟)} \frac{𝑓 (𝜁) 𝑑 𝜁_{1} \dots 𝑑 𝜁_{𝑛}}{\prod_{𝑗 = 1}^{𝑛} {(𝜁_{𝑗} - 𝑧_{𝑗}^{(0)})}^{𝛼_{𝑗} + 1}} .

由 $𝑧^{(0)}$ 任意性可知 $𝑓 (𝑧)$ 在 $𝐷$ 上全纯。

引理 (Schwarz):记 $𝔻$ 为复平面上的单位圆盘， $𝑓 : 𝔻 \to 𝔻$ 是 $𝔻$ 上全纯函数且 $𝑓 (0) = 0$ ，则 $\forall 𝑧 \in 𝔻$ ， $| 𝑓 (𝑧) | \leq | 𝑧 |$ 且 $| 𝑓' (0) | \leq 1$ 。若存在 $𝑧$ 使得 $| 𝑓 (𝑧) | = | 𝑧 |$ 或者 $| 𝑓' (0) | = 1$ ，则 $𝑓$ 为一旋转 $𝑓 (𝑧) = 𝒶︀ 𝑧$ ，其中 $| 𝒶︀ | = 1$ 。

定理 (Osgood):设 $Ω \subset ℂ$ 为一区域， $𝑓 : Ω \to ℂ$ 局部有界且分别关于每一单复变量 $𝑧_{𝑗} (1 \leq 𝑗 \leq 𝑛)$ 全纯，则 $𝑓 \in 𝒪︀ (Ω)$ 。

证明:由 Osgood 引理，只需证 $𝑓 \in 𝐶 (Ω)$ 。设 $𝑤 \in Ω$ ，任取 $𝑟 > 0$ 使得 $𝑃 (2, 2 𝑟) \subset Ω$ ，记 $𝑔_{𝑗} (𝑧, 𝑤) = 𝑓 (𝑤_{1}, \dots, 𝑤_{𝑗}, 𝑧_{𝑗 + 1}, \dots, 𝑧_{𝑛})$ ，对任意 $𝑧 \in 𝑃 (𝑤, 𝑟)$ 有

𝑓 (𝑧) - 𝑓 (𝑤) = (𝑓 (𝑧) - 𝑔_{1} (𝑧, 𝑤)) + (𝑔_{1} (𝑧, 𝑤) - 𝑔_{2} (𝑧, 𝑤)) + \dots + (𝑔_{𝑛 - 1} (𝑧, 𝑤) - 𝑓 (𝑤)) .

$𝑓$ 局部有界，记

𝑀 ≔ sup_{𝑧 \in 𝑃 (𝑤, 2 𝑟)} | 𝑓 (𝑧) | < + \infty,

$𝔻$ 为单位圆盘。定义 $△ (𝑎, 𝑟) = {𝑡 \in ℂ : | 𝑡 - 𝑎 | < 𝑟}$ ，取双全纯映射

ℎ_{𝑗} : 𝔻 \to △ (𝑤_{𝑗 + 1}, 𝑟), ℎ_{𝑗} (𝑡) = 𝑤_{𝑗 + 1} + 𝑟 𝑡 .

令

𝐹_{𝑗} (𝑡) ≔ \frac{𝑓 (𝑤_{1}, \dots, 𝑤_{𝑗}, ℎ (𝑡), 𝑧_{𝑗 + 2}, \dots, 𝑧_{𝑛}) - 𝑓 (𝑤_{1}, \dots, 𝑤_{𝑗}, ℎ (0), 𝑧_{𝑗 + 2}, \dots, 𝑧_{𝑛})}{2 𝑀},

则 $𝐹_{𝑗} (𝑡) \in 𝒪︀ (𝔻)$ ， $𝐹_{𝑗} (0) = 0$ 且 $| 𝐹_{𝑗} (𝑡) | < 1$ ，由Schwarz 引理， $| 𝐹_{𝑗} (𝑡) | \leq | 𝑡 |$ 。

取 $𝑡 = \frac{𝑧_{𝑗 + 1} - 𝑤_{𝑗 + 1}}{𝑟}$ ，则有

2 𝑀 | 𝐹_{𝑗} (𝑡) | = 2 𝑀 | 𝑔_{𝑗} (𝑧, 𝑤) - 𝑔_{𝑗 + 1} (𝑧, 𝑤) | \leq \frac{2 𝑀}{𝑟} | 𝑧 - 𝑤 |,

于是

| 𝑓 (𝑧) - 𝑓 (𝑤) | \leq \frac{2 𝑀}{𝑟} \sum_{𝑗 = 1}^{𝑛} | 𝑧_{𝑗} - 𝑤_{𝑗} |,

即 $𝑓$ 局部 Lipschitz 连续。